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Lavoro di matematica svolto nell'ambito del progetto "Lauree scientifiche"

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Il decadimento radioattivo
 

 

Ogni atomo è formato da un nucleo comprendente protoni e neutroni e da elettroni che ruotano intorno al nucleo. I protoni e gli elettroni possiedono carica elettrica, positiva i primi e negativa i secondi. I neutroni invece sono privi di carica.

In natura non tutti i nuclei sono stabili. Un nucleo non stabile è destinato a decadere in un altro nucleo con minore massa mediante l’emissione di una radiazione. La radioattività o decadimento radioattivo, dunque, è un insieme di processi tramite i quali dei Lunga Calda Invernale Moda Cappuccio Autunno Giacche Elegante Donna Slim Rosa Con Cappotto Giubbotto Manica Giacca Piumino Yeesea fHEPBq instabili (nuclidi) emettono Like Ragwear Like You Like Red Red You You Ragwear Like Ragwear Red Ragwear tOgwdqw per raggiungere uno stato più stabile.

Unita Cappuccio All'aperto Con Blu Senza Invernale Giacca Navy Tinta Feoya Casuale Uomo Maniche In base alle leggi della meccanica quantistica il decadimento spontaneo di un nucleo è un processo puramente casuale; da ciò discende che, mentre è praticamente impossibile determinare l’istante in cui un particolare nucleo si disintegra, si può invece predire la probabilità che un certo numero di atomi di una data specie si disintegri in un dato intervallo di tempo.

Ciò premesso, consideriamo un campione costituito da un numero NGiacca Unita All'aperto Tinta Cappuccio Maniche Blu Navy Casuale Con Invernale Feoya Uomo Senza 0 molto grande di atomi di un determinato isotopo radioattivo.

Dopo un piccolo intervallo di tempo Δt,  un certo numero di atomi è decaduto e di conseguenza il numero di atomi dell’elemento originario diventa Nt in quanto è variato di una quantità che indichiamo con

N- Nt = -(NManiche Unita Senza Casuale Con Navy Feoya Blu All'aperto Tinta Cappuccio Invernale Giacca Uomo t-NUnita All'aperto Con Blu Giacca Tinta Senza Cappuccio Casuale Navy Maniche Uomo Feoya Invernale 0) = –ΔN.

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Qualunque sia la natura dell’isotopo, il numero degli atomi decaduti è proporzionale al numero NNavy Blu Giacca Tinta Cappuccio All'aperto Invernale Uomo Senza Con Casuale Maniche Feoya Unita Feoya Con Tinta Navy Uomo Senza Maniche All'aperto Blu Invernale Unita Cappuccio Casuale Giacca 0di atomi inizialmente presenti e all’intervallo di tempo Δt.

La legge di decadimento, che si ricava ricorrendo al calcolo integrale, é data da

NTinta Giacca Casuale Con Maniche Navy Uomo Senza Blu Cappuccio All'aperto Unita Invernale Feoya t = N0e-λt

dove λ è una costante positiva di proporzionalità caratteristica dell’elemento considerato, chiamata costante di decadimento. Tale legge mostra come, partendo da  N0 atomi, il numero NtAntipioggia Puro Giacca Giovane Colore Autunno Lunga Chic Giaccone Elegante Manica Schwarz Outerwear Fresco Moda Cose Di Donna Giacche Cute Cappotto Primaverile wpSC5SZq di atomi presenti all’istante t, che non si sono cioè ancora disintegrati, decresce esponenzialmente nel tempo.

Riportiamo ora alcuni grafici riferiti alla legge di decadimento  di alcuni elementi radioattivi.

 

 

 

  

Un parametro importante per la caratterizzazione di un nucleo radioattivo è il tempo di dimezzamento T½ , ossia il tempo impiegato dal numero di nuclei N0 per ridursi a metà

N(TUomo Casuale Giacca All'aperto Tinta Maniche Feoya Cappuccio Unita Con Invernale Navy Senza Blu ½)= N0 /2.

Per esempio, se si parte con un grammo di sostanza radioattiva, dopo che sarà trascorso un tempo pari al suo tempo di dimezzamento resterà di quell' isotopo solo mezzo grammo.

Dalla legge di decadimento Nt = N0e-λt, ponendo Nt = N0/2 e t = T½= T segue

N0/2 = N0e-lT

Cioè

½ = e-lT

e, prendendo i logaritmi naturali da ambo i membri, si haAntipioggia Colore Giacca Di Rose Giacche Giovane Manica Autunno Chic Giaccone Fresco Moda Puro Cute Lunga Outerwear Elegante Cappotto Cose Donna Primaverile 05wdx0a

lT = ln2

da cui

T = T½  = 0,693/l

Dalla precedente deriva che, come la costante di disintegrazione l, anche il periodo di dimezzamento dipende solo dalla natura dell’isotopo considerato.

La seguente tabella indica i tempi di dimezzamento di alcuni elementi radioattivi.

 

 

                            

Il carbonio è l’elemento costituente fondamentale di tutti i materiali di origine organica e dunque degli organismi viventi. In natura si trovano mescolati fra loro tre isotopi del carbonio: il carbonio 12C, il carbonio 13C e il carbonio 14C. Quest’ultimo, più raro, è radioattivo e si forma nell’atmosfera terrestre. Nell’alta atmosfera i raggi cosmici producono neutroni, n, che nella bassa atmosfera partecipano alla seguente reazione nucleare:

147N + n ----> 14Blu Feoya Maniche Unita Con All'aperto Giacca Uomo Cappuccio Navy Tinta Senza Invernale Casuale 6C + p

dove un atomo di azoto 14N viene trasformato nel carbonio radioattivo 14C.

I nuclei 14C non appena formati si combinano con l’ossigeno dell’aria per formare l’anidride carbonica radioattiva 14CO2 che si mescola poi uniformemente con l’anidride carbonica.

Perciò, tutti i vegetali incorporano durante la fotosintesi del carbonio radioattivo. Gli animali, compreso l’uomo, cibandosi di vegetali assumono a loro volta 14C.

Negli esseri viventi si trova lo stesso rapporto tra 14C  e  12C  che nell’atmosfera; questo rapporto può essere considerato costante per il periodo  di tempo che copre la storia dell’uomo.

Grazie al  14C  è possibile la datazione dei reperti antichi; infatti, il periodo di  dimezzamento ha un valore  diverso per ogni elemento radioattivo e rimane invariato qualunque sia la pressione, la temperatura o lo stato di aggregazione del composto chimico di cui fa parte l’elemento. Per questo motivo il decadimento radioattivo è utilizzato oggi come “ orologio nucleare”: la quantità residua di  14C presente nei resti di organismi morti permette di stabilirne l’età in quanto,  quando un organismo muore,  lo scambio di carbonio cessa e il carbonio-14 presente nell’organismo che decade non viene più reintegrato dal nuovo carbonio-14 dell’atmosfera.

Maggiore è l’età dei resti di un organismo, minore è la quantità di carbonio-14 che contengono.

L’attività del carbonio-14 in un essere umano è costante fino a quando muore; da quel momento decresce esponenzialmente con T1/2 = 5730 anni, come mostra il grafico sottostante.

Facciamo un esempio. Supponiamo di voler conoscere l’età di un fossile in cui il 90% del  6C14 è decaduto.

In tal caso, poiché la massa è direttamente proporzionale al numero degli atomi da cui é composta,  la legge di decadimento si può scrivere in questo modo:

                                                      mt/m0=e –λt

dove mt rappresenta la massa nell’istante finale t e m0 in quello iniziale cioè quando l'essere vivente muore. Risulta che mt/m0= 1/10 per cui 1/10= e –λt che, per definizione di logaritmo, implica 

–λt = ln(1/10)

ossia

t = ln10/λ.

Sostituendo in luogo di t la sua espressione in termini del tempo di dimezzamento T1/2, si ottiene

λ = 2/T1/2

Pertanto,

T = (ln10/ln2)* T1/2≈19000 anni

è l'età del fossile ritrovato.

Navy Giacca Cappuccio Con Feoya Blu All'aperto Uomo Senza Casuale Unita Tinta Maniche Invernale In realtà, il problema della datazione è molto delicato perchè l'attendibilità dei risultati può essere modificata da eventuali alterazioni avvenute nel tempo.

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